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向量值函数中学数学

来源:www.oldetownesalon.net 时间:2024-04-04 04:45:16 作者:数学知识网 浏览: [手机版]

  向量值函数是指自量为向量,因量也是向量的函数,是高数学的重要概念WRy。它在物理、工程、计算机科学领域都有广的应用。本文将从定义、性质、求导和线积四个方面介绍向量值函数。

一、定义

  向量值函数是指自量为向量,因量也是向量的函数。一般地,设 $f:R^n\rightarrow R^m$,则称 $f$ 为 $R^n$ 到 $R^m$ 的向量值函数。其,$R^n$ 表示 $n$ 维实数向量空间,$R^m$ 表示 $m$ 维实数向量空间数+学+知+识+网。向量值函数可以用量函数表示,即 $f(x_1,x_2,...,x_n)=(f_1(x_1,x_2,...,x_n),f_2(x_1,x_2,...,x_n),...,f_m(x_1,x_2,...,x_n))$。

二、性质

  向量值函数的性质包括可导性、连续性、限性质。其,可导性是向量值函数最重要的性质之一。

  1. 可导性

  设向量值函数 $f:R^n\rightarrow R^m$,若对于 $R^n$ 任意一点 $x_0$,存在一个 $m\times n$ 的矩阵 $J$,使得 $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\|f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-J\Delta x\|}{\|\Delta x\|}=0$,则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导,并称 $J$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数矩阵。此时,$J$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵,它的每个元都是一个实数数学知识网www.oldetownesalon.net。如果 $m=n=1$,则 $J$ 是一个实数,称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数。

  2. 连续性

若向量值函数 $f:R^n\rightarrow R^m$ 在 $x_0$ 处连续,则对于任意 $\epsilon>0$,存在 $\delta>0$,使得当 $\|x-x_0\|<\delta$ 时,有 $\|f(x)-f(x_0)\|<\epsilon$。

  3. 限性质

  若向量值函数 $f:R^n\rightarrow R^m$ 在 $x_0$ 处限存在,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$。

三、求导

向量值函数的求导标量函数的求导有些不同。对于标量函数,它的导数是一个实数,而对于向量值函数,它的导数是一个矩阵数+学+知+识+网

  1. 链式法则

设向量值函数 $f:R^n\rightarrow R^m$,向量值函数 $g:R^m\rightarrow R^p$,则复合函数 $h=g\circ f:R^n\rightarrow R^p$ 的导数为 $h'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)$。

2. 向量值函数的导数

设向量值函数 $f:R^n\rightarrow R^m$,则 $f$ 在 $x_0$ 处可导的充必要条件是 $f$ 的各个量函数在 $x_0$ 处都可导。此时,$f$ 在 $x_0$ 处的导数矩阵为 $J=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\frac{\partial f_1}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}&\frac{\partial f_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}$。

四、线积

线积是对向量值函数沿着一条线的积。它在物理、工程、计算机科学领域都有广的应用数+学+知+识+网

设 $C$ 是一条光滑线,$f(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 是定义在 $C$ 上的向量值函数,则线积 $\int_Cf(x,y,z)\cdot ds$ 的计算公式为 $\int_Cf(x,y,z)\cdot ds=\int_a^bf(x(t),y(t),z(t))\cdot\|\vec{r}'(t)\|dt$,其 $a$ 和 $b$ 是线 $C$ 的参数区间,$\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 是线 $C$ 的参数方程,$\vec{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))$ 是线 $C$ 的切向量。

五、总结

  本文介绍向量值函数的定义、性质、求导和线积四个方面。向量值函数在数学、物理、工程、计算机科学领域都有广的应用,是高数学的重要概念。

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