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中考数学:勾股定理详解

来源:www.oldetownesalon.net 时间:2024-04-04 00:56:41 作者:数学知识网 浏览: [手机版]

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中考数学:勾股定理详解(1)

  勾股定理是中学数学常重要的一个定理,也是中考数学中常考的题目数学知识网。本文将详细讲解勾股定理的概念、证明方法以及应用。

一、勾股定理的概念

  勾股定理又称毕达哥拉斯定理,它是:在一个直角三角形中,直角边的方等于另两条边的

勾股定理的数学表达式为:$a^2+b^2=c^2$,其中 $a$、$b$ 分别表示直角三角形的两条直角边,$c$ 表示斜边。

中考数学:勾股定理详解(2)

二、勾股定理的证明方法

  勾股定理的证明方法有多种,这里绍其中一种较为简单的方法数 学 知 识 网

有一个直角三角形 ABC,其中 $\angle C=90^\circ$,如下图所示:

  ![勾股定理证明图](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/0xw0vq8d.png)

  我们将三角形 ABC 沿着斜边 AC 对折,得到下图:

  ![勾股定理证明图2](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/2r5b3w3f.png)

  由于三角形 ABC 是直角三角形,所以 $\angle BAC=90^\circ$,而折叠后的三角形 ABD 与三角形 ABC 重合,所以 $\angle ABD=90^\circ$,因此三角形 ABD 也是直角三角形。

  根据三角形的内角定理可得:$\angle ADB=180^\circ-\angle ABD-\angle BAD=180^\circ-90^\circ-\angle BAD=90^\circ-\angle BAD$。

  又因为 $\angle ABD=\angle ABC$,所以 $\angle ADB=90^\circ-\angle ABC$。

  根据弦定理可得:$\dfrac{BD}{AB}=\sin\angle ADB$,$\dfrac{AC}{AB}=\sin\angle ABC$数_学_知_识_网

  由于 $\angle ADB=90^\circ-\angle ABC$,所以 $\sin\angle ADB=\cos\angle ABC$。

因此,$\dfrac{BD}{AB}=\cos\angle ABC$,$\dfrac{AC}{AB}=\sin\angle ABC$。

  根据勾股定理可得:$BD^2+AD^2=AB^2$,$AC^2+AD^2=CD^2$。

  将 $\dfrac{BD}{AB}=\cos\angle ABC$,$\dfrac{AC}{AB}=\sin\angle ABC$ 代入上式,得到:

  $(AB\times\cos\angle ABC)^2+(AB\times\sin\angle ABC)^2=AB^2+CD^2$

  化简可得:$AB^2(\cos^2\angle ABC+\sin^2\angle ABC)=AB^2+CD^2$

  因为 $\cos^2\angle ABC+\sin^2\angle ABC=1$,所以:$AB^2+CD^2=AB^2$

  即:$CD^2=AB^2-AD^2=BC^2$,根据勾股定理得证数_学_知_识_网

中考数学:勾股定理详解(3)

三、勾股定理的应用

勾股定理在中考数学中的应用常广泛,下面绍几个常见的题。

  题1:已知直角三角形的斜边长为 5,一条直角边长为 3,求另一条直角边长。

解:根据勾股定理可得:$3^2+b^2=5^2$,化简可得:$b=4$。

  因此,另一条直角边长为 4数_学_知_识_网

  题2:已知一个等腰直角三角形的斜边长为 10,求等腰边长。

  解:由于等腰直角三角形的两条直角边相等,所以等腰边长为 $a$,根据勾股定理可得:$a^2+a^2=10^2$,化简可得:$a=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$。

因此,等腰边长为 $5\sqrt{2}$。

结语

  勾股定理是中学数学中常重要的一个定理,掌握了勾股定理的概念、证明方法以及应用,可以帮我们更好地解决数学问题uFpv。希望本文能对大家有所帮

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