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高考数学函数性质综合运用

来源:www.oldetownesalon.net 时间:2024-05-14 13:16:42 作者:数学知识网 浏览: [手机版]

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高考数学函数性质综合运用(1)

  在高中数学中,函数是一重要的概念,也是高考中的重考查内容之一数 学 知 识 网。函数的性质综合运用是高考数学中的,需要考生掌握一定的方法和技巧。

一、函数的基本性质

函数的定义域、值域、单调性、奇性、周期性等是函数的基本性质,需要考生熟练掌握。在考试中,有些题目需要通过这些性质来解决问题,例如:

例1:已知函数$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$,求函数$f(x)$的单调间。

  解:由于$f(x)$在$x\in\mathbb{R}$上都有定义,因$f(x)$的单调性只需考虑其导数的正负性。计算得$f'(x)=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$,由可知$f(x)$在$x0$时单调递增数_学_知_识_网

  例2:已知函数$f(x)$为函数,$f(x)$在间$[0,+\infty)$上单调递增,求$f(x)$在整定义域上的单调性。

解:由于$f(x)$为函数,因$f(x)$在间$(-\infty,0]$上也单调递增。由于$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增,因$f(x)$在整定义域上单调递增。

高考数学函数性质综合运用(2)

二、函数的图像性质

  函数的图像性质括函数的对称性、渐近线、极值、拐等,需要考生熟练掌握。在考试中,有些题目需要通过这些性质来解决问题,例如:

  例3:已知函数$f(x)$在$x\in[0,+\infty)$上单调递增,$f(0)=0$,$f(x)>0$,且$f(x)$的图像在$(1,1)$处有水平渐近线,求函数$f(x)$在$x\in[0,+\infty)$上的解析式数.学.知.识.网

  解:由题意可知,$f(x)$在$x=1$处有水平渐近线,因$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=1$。由于$f(x)$在$x\in[0,+\infty)$上单调递增,因$f(x)$在$x=1$处取得最大值,即$f(1)=1$。由于$f(x)>0$,因$f(x)$的图像在$x\in[0,+\infty)$上没有零。综上所,$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$。

  例4:已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$,求$f(x)$的图像的拐坐标数_学_知_识_网

  解:由于$f(x)$的定义域为$x\in\mathbb{R}$,因$f(x)$的拐只可能在$x=0$处。计算得$f''(x)=\dfrac{2x^2-1}{(x^2+1)^{5/2}}$,因$f(x)$在$x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$处取得拐。代入得$f(\dfrac{1}{\sqrt{2}})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,因$f(x)$的拐坐标为$(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$。

三、函数的综合运用

  在考试中,有些题目需要综合运用函数的各种性质来解决问题,例如:

  例5:已知函数$f(x)$在$x\in[0,+\infty)$上单调递增,$f(0)=0$,$f(x)>0$,且$f(x)$的图像在$(1,1)$处有水平渐近线。已知函数$g(x)$满足$g(x)=\int_0^x f(t)dt$,求函数$g(x)$在$x\in[0,+\infty)$上的单调性来源www.oldetownesalon.net

  解:由题意可知,$f(x)$在$x=1$处有水平渐近线,因$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=1$。由于$f(x)$在$x\in[0,+\infty)$上单调递增,因$f(x)$在$x=1$处取得最大值,即$f(1)=1$。由于$f(x)>0$,因$f(x)$的图像在$x\in[0,+\infty)$上没有零。综上所,$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$。

  由于$f(x)$在$x\in[0,+\infty)$上单调递增,因$g'(x)=f(x)>0$,即$g(x)$在$x\in[0,+\infty)$上单调递增数+学+知+识+网

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