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高等数学工本第五讲:多元函数微分学

来源:www.oldetownesalon.net 时间:2024-05-15 15:36:11 作者:数学知识网 浏览: [手机版]

在高等数学中,多元函数微分学是一个非常重的概念oldetownesalon.net。它是究多元函数的变化规律和值问题的基础。本文介绍多元函数微分学的相关知识点。

高等数学工本第五讲:多元函数微分学(1)

1. 多元函数的偏

对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$,它的偏数指的是在某个变量$x_i$上求时,其他变量视为常数所得到的oldetownesalon.net。偏数可以用符号$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。

,对于函数$f(x,y)=x^2+y^2$,它的偏数为:

  $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=2y$$

2. 多元函数的全微分

  对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$,果它在某个点$(x_1,x_2,...,x_n)$处存在偏数,那它在这个点处就是可微的。

  此时,它的全微分可以表示为:

$$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$

  其中,$dx_1,dx_2,...,dx_n$分别表示$x_1,x_2,...,x_n$的微小增量原文www.oldetownesalon.net

高等数学工本第五讲:多元函数微分学(2)

3. 多元函数的值问题

多元函数的值问题是指,在给定的约束条件下,求函数的最大值或最小值。这种问题在实际应用中非常常见。

  对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$,它的值点足以下条件:

  1. 在值点处,偏数为0;

  2. 在值点处,二阶偏数的符号决定了值的类型oldetownesalon.net。若二阶偏数为正,则是小值;若二阶偏数为负,则是大值。

高等数学工本第五讲:多元函数微分学(3)

4. 多元函数的泰公式

对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$,它的泰公式可以表示为:

  $$f(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,...,x_n+\Delta x_n)=f(x_1,x_2,...,x_n)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i+\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}\Delta x_i\Delta x_j+...$$

  其中,$\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n$分别表示$x_1,x_2,...,x_n$的增量。

5. 多元函数的应用

多元函数在实际应用中有着广泛的应用www.oldetownesalon.net。例,在经济学中,多元函数可以用来描述场需求和供给的关系;在物理学中,多元函数可以用来描述物体的运动状态等。

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