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探究三次方程的解法

来源:www.oldetownesalon.net 时间:2024-05-15 21:29:40 作者:数学知识网 浏览: [手机版]

  三次方程是高中数学中的重要内容,但初中阶段,也以初了解其解法www.oldetownesalon.net数学知识网。本文将介绍三次方程的基本念和解法,并结合一些竞赛题进行探究

探究三次方程的解法(1)

一、三次方程的基本

三次方程是指如 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的方程,其中 $a \neq 0$。其解法以通过因式分解、配方法和求根公式等方式进行。

二、因式分解法

  当三次方程中存公因式时,以通过因式分解来求解cHb。例如,$x^3-8=0$ 以分解为 $(x-2)(x^2+2x+4)=0$,从而得到 $x=2$ $x=-1 \pm i\sqrt{3}$。

探究三次方程的解法(2)

三、配方法

  配方法是指将三次方程中 $x^2$ 的系数为 $1$,即将方程为 $x^3+px+q=0$ 的式,然后再通过元的方式来求解。具体来说,假设 $x=t-\frac{p}{3}$,则原方程为 $t^3+pt+q-\frac{p^3}{27}=0$。此时,将 $q-\frac{p^3}{27}=r$,则原方程以进一简化为 $t^3= -r$oldetownesalon.net。因此,$t=\sqrt[3]{-r}$,从而得到 $x=t-\frac{p}{3}$ 的解法。

  例如,$2x^3+5x^2+3x+1=0$ 以通过配方法为 $x^3+\frac{5}{2}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$,然后令 $x=t-\frac{5}{3}$,得到 $t^3+\frac{1}{3}=0$,从而得到 $x=\sqrt[3]{-\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}$ 的解法。

探究三次方程的解法(3)

、求根公式

  对于一般的三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$,以通过求根公式来求解。具体来说,令 $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$,$q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$,则有以下两种情况:

  1. 当 $p=q=0$ 时,有三个实根 $x_1=x_2=x_3=-\frac{b}{3a}$www.oldetownesalon.net数学知识网

  2. 当 $p^3

  例如,$x^3-3x^2+3x-1=0$ 以通过求根公式得到 $x_1=x_2=x_3=1$ 的解法。

、竞赛题探究

  1. 已知 $x^3-3x^2+4x-1=0$,求 $x^6-6x^5+13x^4-12x^3+4x^2$ 的值数_学_知_识_网

解法:将 $x^3-3x^2+4x-1=0$ 为 $x^3=3x^2-4x+1$,代入 $x^6-6x^5+13x^4-12x^3+4x^2$ 中,得到 $x^6-6x^5+13x^4-12x^3+4x^2=(3x^2-4x+1)^2=1$,因此所求的值为 $1$。

2. 已知 $x^3-3x^2+5x-17=0$,求 $x^4-4x^3+10x^2-12x+9$ 的值。

解法:将 $x^3-3x^2+5x-17=0$ 为 $x^3=3x^2-5x+17$,代入 $x^4-4x^3+10x^2-12x+9$ 中,得到 $x^4-4x^3+10x^2-12x+9=(3x^2-5x+17)^2-20x^2+72x-64=1$,因此所求的值为 $1$。

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