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数学高考试题分析与解答

来源:www.oldetownesalon.net 时间:2024-06-14 20:54:16 作者:数学知识网 浏览: [手机版]

随着高考的临近,各位考生也在为数学考试做最后的冲刺数学知识网。在备考中,不少同学会对历年数学高考试题进研究,以便更好地了解考试内容和难度,从而更好地应对考试。本文对2010年数学高考试题进分析和解答,帮助同学们更好地备考。

数学高考试题分析与解答(1)

第一题

  已知函数$f(x)=\sqrt{2-x}$,$g(x)=\sqrt{4-x}$,则$g(f(x))$的定义域为( )。

  A. $(-\infty,2]$

  B. $(-\infty,0]$

  C. $(-\infty,4]$

  D. $(-\infty,2] \cup [2,4]$

  解答:首先要求出$f(x)$的定义域,由于$\sqrt{2-x}$的定义域为$x\leq 2$,因此$f(x)$的定义域为$(-\infty,2]$。然后求出$g(f(x))$的定义域,即要求$f(x)$的值域在$g(x)$的定义域内。由于$f(x)$的值域为$[0,\sqrt{2})$,而$g(x)$的定义域为$x\leq 4$,因此$g(f(x))$的定义域为$(-\infty,2]$,选项A正确数学知识网www.oldetownesalon.net

第二题

在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$上一点,$AD$平分$\angle BAC$,$E$是$\triangle ABD$中以$BD$为边的等腰直角三角形的顶点,$F$是$\triangle ADC$中以$CD$为边的等腰直角三角形的顶点,$EF$交$AD$于点$G$,若$AD=2$,则$DG=$( )。

  A. $\dfrac{2}{3}$

B. $\dfrac{4}{5}$

  C. $\dfrac{3}{4}$

  D. $\dfrac{5}{6}$

解答:首先可以求出$\triangle ABD$和$\triangle ADC$的面积,设$AB=AC=a$,则有$[ABD]=\dfrac{1}{2}a^2$,$[ADC]=\dfrac{1}{2}a^2\sin\angle BAC=\dfrac{1}{2}a^2\sin\angle BAD=\dfrac{1}{2}a^2\cos\dfrac{\angle BAC}{2}=\dfrac{1}{2}a^2\cos\dfrac{\angle BAD}{2}=\dfrac{1}{2}a^2\cos\dfrac{\angle ADB}{2}$。由于$\angle ADB=\angle ADC+\angle BDC=2\angle BAD+\angle BAC=3\angle BAD$,因此有$[ADC]=\dfrac{1}{2}a^2\cos\dfrac{3\angle BAD}{2}$。又因为$\angle ABD=\angle ADC=\dfrac{\pi}{2}-\angle BAD$,因此$\angle BAD=\dfrac{\pi}{4}$,$\cos\dfrac{3\angle BAD}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$。代入上式得$[ADC]=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}a^2$。由于$[ADF]=\dfrac{1}{2}[ADC]$,因此$[ADF]=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}a^2$,同理$[BDE]=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}a^2$www.oldetownesalon.net数学知识网。由于$EF\parallel BC$,因此$\dfrac{DG}{AD}=\dfrac{EG}{AE}=\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$,因此$DG=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,选项A正确。

数学高考试题分析与解答(2)

第三题

已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x^2-2x+3}$,则$f(x)$的值域为( )。

  A. $(-\infty,0]$

  B. $(0,+\infty)$

C. $[1,+\infty)$

  D. $(-\infty,1]$

解答:要求$f(x)$的值域,可以先求出$f(x)$的最小值。由于$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$,因此$f(x)$的定义域为$x\in(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。对于$x\in(-\infty,1)$,有$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2+2}\leq\dfrac{1}{2}$,对于$x\in(1,+\infty)$,有$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2+2}\geq\dfrac{1}{2}$,因此$f(x)$的最小值为$\dfrac{1}{2}$。又因为$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0$,因此$f(x)$的值域为$[\dfrac{1}{2},+\infty)$,选项C正确来自www.oldetownesalon.net

数学高考试题分析与解答(3)

第四题

  已知$a,b,c$是正整数,且满足$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}$,则$a+b+c$的最小值为( )。

A. 6

  B. 7

  C. 8

D. 9

  解答:由于$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}$,因此有$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq\dfrac{4}{a+b}$,$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\geq\dfrac{4}{a+c}$,$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq\dfrac{4}{b+c}$。三个不等式加得到$\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\geq\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{4}{b+c}$,即$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\geq\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{4}{b+c}$。代入题目中的条件得到$3(a+b+c)\geq 8+\dfrac{6bc}{a(b+c)}+\dfrac{6ac}{b(a+c)}+\dfrac{6ab}{c(a+b)}$。由于$a,b,c$都是正整数,因此有$\dfrac{6bc}{a(b+c)}\geq 6$,$\dfrac{6ac}{b(a+c)}\geq 6$,$\dfrac{6ab}{c(a+b)}\geq 6$,代入上式得到$3(a+b+c)\geq 32$,因此$a+b+c\geq 11$。$a=2,b=3,c=6$时,有$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{2}$,因此$a+b+c=11$,选项B正确数学知识网

第五题

  已知函数$f(x)=e^x-x-1$,则$f(x)$的单调递增区间为( )。

A. $(-\infty,0]$

  B. $[0,+\infty)$

C. $(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)$

  D. $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

  解答:首先求出$f'(x)=e^x-1$,因此$f(x)$的单调性与$e^x$的单调性同。由于$e^x>0$,因此$e^x$在整个实数轴上单调递增,因此$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递,在$(0,+\infty)$上单调递增,选项B正确。

总结

  通对2010年数学高考试题的分析和解答,我们可以看到,在高考数学中,要求考生对基本念、基本原理和基本方法有深入的理解和掌握,同时也要考生具备较强的计算能力和推理能力。望各位考生在备考中,注重基础知识的学习和理解,加强对数学念和原理的掌握,同时也要注重练习和总结,提高自己的数学思维和解题能力,从而更好地应对高考数学考试。

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